Question

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝AD＝1，CD＝.

(1)若点M是棱PC的中点，求证：PA∥平面BMQ；
(2)若二面角M—BQ—C为30°，设PM＝tMC，试确定t的值．

Answer 1

（1）见解析  （2）t＝3.

(1)证明　连接AC，交BQ于N，连接MN.
∵BC∥AD且BC＝AD，
即BC綊AQ.
∴四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，
又∵点M是棱PC的中点，
∴MN∥PA.
∵MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，
∴PA∥平面BMQ.
(2)解　∵PA＝PD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PQ⊥平面ABCD.
如图，以Q为原点建立空间直角坐标系．

则平面BQC的法向量为n＝(0,0,1)；
Q(0,0,0)，P(0,0，)，B(0，，0)，C(－1，，0)．
设M(x，y，z)，则＝(x，y，z－)，
＝(－1－x，－y，－z)，
∵＝t，
∴∴
在平面MBQ中，＝(0，，0)，
＝，
∴平面MBQ的法向量为m＝(，0，t)．
∵二面角M—BQ—C为30°，
cos 30°＝＝＝，∴t＝3.