题目内容

知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^），设b_n= $数学公式$ （n∈N^）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求数列{b_n}通项公式．

解：（1）因为a₁=a，a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
所以 $\text{[math]}$ ，又b_n= $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$
所以数列{b_n}所满足的递推公式为 $\text{[math]}$

（2）设：b_n+1-c=q（b_n-c）
所以b_n+1=qb_n+c-qc 又由上问 $\text{[math]}$ ，
可解得 $\text{[math]}$
即： $\text{[math]}$
所以数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列．
由等比数列通项公式可得： $\text{[math]}$
即通项公式为： $\text{[math]}$ ．
分析：对于（1）求数列{b_n}所满足的递推公式，可直接把等式a_n+1=2ⁿ-3a_n两边同时除以2ⁿ，根据已知b_n= $\text{[math]}$ ，化简即可得到答案．
对于（2）求数列{b_n}通项公式．由（1）求得的{b_n}的递推公式，可以分析到是差后等比数列，故可以用待定系数的方法求出数列 $\text{[math]}$ 是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，再根据等比数列的通项公式的求法求得后化简即可．
点评：此题主要考查等比数列通项公式的应用问题，其中涉及到差后等比数列的通项公式的求法，这个类型的数列在考试中经常出现且有一定的灵活性，需要同学们注意．