Question

知数列{a_n}满足a₁=a（a为常数，a∈R），a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），设b_n=

an

2n

（n∈N^*）．
（1）求数列{b_n}所满足的递推公式；
（2）求数列{b_n}通项公式．

Answer 1

分析：对于（1）求数列{b_n}所满足的递推公式，可直接把等式a_n+1=2ⁿ-3a_n两边同时除以2ⁿ，根据已知b_n=

an

2n

，化简即可得到答案．
对于（2）求数列{b_n}通项公式．由（1）求得的{b_n}的递推公式，可以分析到是差后等比数列，故可以用待定系数的方法求出数列{bn-

1

5

}是首项为{b1-

1

5

}，公比为-

3

2

的等比数列，再根据等比数列的通项公式的求法求得后化简即可．

解答：解：（1）因为a₁=a，a_n+1=2ⁿ-3a_n（n∈N^*），
所以

an+1

2n+1

=

1

2

-

3

2

•

an

2n

，又b_n=

an

2n

．
所以bn+1=

1

2

-

3

2

bn
所以数列{b_n}所满足的递推公式为

b1= a 2 bn+1= 1 2 - 3 2 bn  (n∈N*)

（2）设：b_n+1-c=q（b_n-c）
所以b_n+1=qb_n+c-qc 又由上问bn+1=

1

2

-

3

2

bn，
可解得

q=- 3 2 c= 1 5

即：bn+1-

1

5

= -

3

2

( bn-

1

5

)
所以数列{bn-

1

5

}是首项为{b1-

1

5

}，公比为-

3

2

的等比数列．
由等比数列通项公式可得：bn-

1

5

= (b1-

1

5

)( -

3

2

)n-1
即通项公式为：bn=

1

5

+(

a

2

-

1

5

)( -

3

2

)n-1．

点评：此题主要考查等比数列通项公式的应用问题，其中涉及到差后等比数列的通项公式的求法，这个类型的数列在考试中经常出现且有一定的灵活性，需要同学们注意．