Question

4．给出下列四个命题：
①函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$为奇函数；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow{b}$=（m，4）夹角为锐角，则实数m的取值范围是$（-\frac{3}{5}，+∞）$；
③函数$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域是（0，+∞）；
④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，则函数f（2^x）的定义域为[1，2]；
⑤函数y=lg（-x²+2x）的单调递增区间是（0，1]．
其中正确命题的序号是①④⑤．（填上所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 ①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，其定义域关于原点对称，函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，又f（-x）=-f（x），即可判断出奇偶性；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow{b}$=（m，4）夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）≠4，解得m范围，即可判断出正误；
③由$\frac{1}{x}$≠0，可得${2}^{\frac{1}{x}}$≠1，即可得出函数$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域；
④由函数f（2x）的定义域为[1，2]，可得1≤x≤2，2≤2x≤4，可得2≤2^x≤4，解得x范围即可得出函数f（2^x）的定义域；
⑤由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2．利用对数函数、二次函数的单调性、复合函数的单调性的判定方法即可得出即可得出函数y=lg（-x²+2x）=lg[-（x-1）²+3]的单调递增区间．

解答 解：①由$\left\{\begin{array}{l}{1-{x}^{2}≥0}\\{|x+2|≠2}\end{array}\right.$，解得-1≤x≤1，且x≠0，其定义域{x|-1≤x≤1，且x≠0}关于原点对称，∴函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$=$\frac{\sqrt{1-{x}^{2}}}{x}$，又f（-x）=$\frac{\sqrt{1-（-x）^{2}}}{-x}$=-f（x）
∴函数y=$\frac{{\sqrt{1-{x^2}}}}{|x+2|-2}$为奇函数，正确；
②若非零向量$\overrightarrow{a}$=（1，m+3）和$\overrightarrow{b}$=（m，4）夹角为锐角，则$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=m+4（m+3）＞0，且m（m+3）≠4，解得$m＞-\frac{12}{5}$，且m≠1．因此不正确；
③∵$\frac{1}{x}$≠0，∴${2}^{\frac{1}{x}}$≠1，函数$y={2^{\frac{1}{x}}}$的值域是（0，1）∪（1，+∞），因此不正确；
④若函数f（2x）的定义域为[1，2]，∴1≤x≤2，2≤2x≤4，∴2≤2^x≤4，解得1≤x≤2，则函数f（2^x）的定义域为[1，2]，正确；
⑤由-x²+2x＞0，解得0＜x＜2．函数y=lg（-x²+2x）=lg[-（x-1）²+3]的单调递增区间是（0，1]，正确．
其中正确命题的序号是 ①④⑤．
故答案为：①④⑤．

点评 本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的单调性与奇偶性、向量夹角公式与数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．