Question

14．已知函数f（x）=x²+（a-1）x+1．
（Ⅰ）若对任意x∈[1，2]，使f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，f（x）＞0恒成立转化为函数f（x）在[1，2]上的最小值f（x）_min＞0恒成立，
讨论a的取值范围，求出满足题意的a的取值范围即可；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，转化为a＞1-x-$\frac{1}{x}$成立，即a＞（1-x-$\frac{1}{x}$）_min即可

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x²+（a-1）x+1，其对称轴方程为x=-$\frac{a-1}{2}$，
∴当-$\frac{a-1}{2}$＜1，即a＞-1时，f（x）在[1，2]上单调递增，
其最小值为f（1）=a+1＞0，解得a＞-1满足题意；
当1≤-$\frac{a-1}{2}$≤2，即-3≤a≤-1时，f（x）在[1，2]上的最小值为
f（-$\frac{a-1}{2}$）=1-$\frac{{（a-1）}^{2}}{4}$＞0，解得-1＜a＜3，不合题意，舍去；
当-$\frac{a-1}{2}$＞2，即a＜-3时，f（x）在[1，2]上单调递减，
其最小值为f（2）=2a+3＞0，解得a＞-$\frac{3}{2}$，不合题意，舍去；
综上，f（x）＞0恒成立时，实数a的取值范围是a＞-1；
（Ⅱ）存在x∈[1，2]，使f（x）＞0成立，
即x²+（a-1）x+1＞0；
∴（a-1）x＞-x²-1，
也就是a-1＞-x-$\frac{1}{x}$，
∴a＞1-x-$\frac{1}{x}$成立；
即a＞（1-x-$\frac{1}{x}$）_min，x∈[1，2]；
又当x=2时（1-x-$\frac{1}{x}$）_min=-$\frac{3}{2}$，
∴a＞-$\frac{3}{2}$；
∴a的取值范围是a＞-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了一元二次不等式的解法以及二次函数的最值问题，也考查了转化法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．