Question

【题目】已知数列的前项积为，满足. 数列的首项为，且满足.

（1）求数列，的通项公式;

（2）记集合，若集合的元素个数为，求实数的取值范围;

（3）是否存在正整数使得成立?如果存在，请写出满足的条件，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），bn=2n；（2）；（3）答案不唯一，见解析

【解析】

（1）当时，；当时，，即可的的通项公式，由可得，即数列是常数数列，即可求出的通项公式；

（2）参变分离，构造函数列，判断其增减性，即可求出的取值范围；

（3）假设存在，根据数列为等比数列，利用公式求出其前项和，对分类讨论．

（1）因为，所以当时，

而当时，适合上式，所以，因为，即

所以数列是常数数列，所以，所以.

（2）由(1)知，不等式即为

设

因为

而

要使只有2解，则有

（3）假设存在正整数，因为

所以有若，则不成立，

所以，，若为奇数，当时，，不成立，.

当时，设，， 则 .

若q为偶数，设，，则，因为，所以.

综上所述，当为大于1的奇数时，，；

当q为偶数时，不存在.