Question

【题目】设函数，

(1) 若，求函数的单调区间；

(2) 若函数有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）函数的增区间为（0，1），减区间为；（2）.

【解析】

（1）求出函数的导数，判断正负求出函数的单调区间即可；

（2）求, 讨论的单调性进而确定函数的零点个数即可求解

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），

若,,故

当 则函数的增区间为（0，1），减区间为；

（2）,且

当 则）,则至多有一个零点，不合题意；

当，当，

① 当即时，故在 单调递增，在 上单调递减，则 ，又又 ，则

则 则在上单调递增，在单调递减，在单调递增，又，则若函数有两个零点，只需，综上 ；

② 当即时，故在 单调递增，在 上单调递减，则 ，又又 ，则

则 则在上单调递增，在单调递减，在单调递增，又，则函数必有两个零点，故，

③当，即时，，，易得的极大值也就是最大值为，则，由，函数有唯一零点1，不合题意

综上实数a的取值范围.