Question

【题目】已知数列满足.

（1）证明：数列为等差数列；

（2）设数列的前n项和为，若，且对任意的正整数n，都有，求整数的值；

（3）设数列满足，若，且存在正整数s，t，使得是整数，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）令中的为，又得一式，将两式做差变形，利用等差中项进行证明；

（2）利用放缩法和裂项相消法在数列求和中的应用进行证明．
（3）利用假设法的应用和存在性问题的应用求出最小值．

解：（1）因为①

所以时， ②

①-②得，

所以

即

所以数列为等差数列；

（2）因为，所以的公差为1，

因为对任意的正整数，都有，

所以，所以，即，

所以或2，

当时，，，，

所以，这与题意矛盾，所以，

当时，，

，

，恒成立，

因为，

，

综上，的值为2.

（3）因为，所以的公差为，

所以，

所以，

由题意，设存在正整数s，t，使得，，

则，即，

因为，

所以是偶数，

所以，

所以，

当时，，

所以存在，

综上，的最小值为.