Question

已知函数
若函数在和上是增函数，在是减函数，求的值；
讨论函数的单调递减区间；
如果存在，使函数，，在处取得最小值，试求的最大值.

Answer 1

;当时，单调减区间为当时，单调减区间为;
.

试题分析：通过求导以及极值点的导数计算的值为1；通过导数与函数的单调性关系讨论函数的单调减区间；先写出函数表达式，是一个三次多项式.由，在处取得最小值知在区间上恒成立，从而得 再讨论与时利用二次函数在闭区间的最值问题解得.
试题解析：（Ⅰ）                                     1分
函数在和上是增函数，在上是减函数，
∴为的两个极值点，∴即          3分
解得：                                                       4分
（Ⅱ），的定义域为，
             5分
当时，由解得，的单调减区间为        7分
当时，由解得，的单调减区间为  9分
（Ⅲ），据题意知在区间上恒成立，即①                         10分
当时，不等式①成立；
当时，不等式①可化为②          11分
令，由于二次函数的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在端点处取得，又，所以不等式②恒成立的充要条件是，即                        12分
即，因为这个关于的不等式在区间上有解，所以
                 13分
又，故，                  14分