Question

5．如图，一根木棒AB长为2米，斜靠在墙壁AC上，∠ABC=60°，若AB滑动至A₁B₁位置，且AA₁=（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）米，则AB中点D所经过的路程为$\frac{π}{12}$米．

Answer 1

分析 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DE=CO′，即O运动所经过的路线是一段圆弧；在Rt△ACB中，根据直角三角形三边的关系得到∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，则易求出CD=CA-DA=$\sqrt{2}$，即可得到△DCE为等腰直角三角形，得到∠DEC=45°，则∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，然后根据弧长公式计算即可．

解答 解：连接CO、CO′，如图，
∵CA⊥CB，O为AB中点，O′为DE的中点，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}$DE=CO′，
∵AB=2，
∴CO=1，
当A端下滑B端右滑时，AB的中点O到C的距离始终为定长1，
∴O运动所经过的路线是一段圆弧，
∵∠ABC=60°，
∴∠ACO=30°，CA=$\sqrt{3}$，
∵AD=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$，
CD=CA-AD=$\sqrt{3}$-（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$，
∴sin∠DEC=$\frac{CD}{DE}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠DEC=45°，
∴∠DCO′=45°
∴∠OCO′=∠DCO′-∠ACO=15°，
∴弧OO′的长=$\frac{15π}{180}$=$\frac{π}{12}$，
即O点运动到O′所经过路线OO′的长为$\frac{π}{12}$米．
故答案为：$\frac{π}{12}$米．

点评 本题考查了动点的运动轨迹问题，解答的关键是明确AB中点在以C为圆心的圆弧上运动，考查了弧长公式及直角三角形中的边角关系，是中档题．