Question

19．设两圆C₁，C₂都与y=x和y=-x相切，且都过点$（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）$，则两圆心的距离|C₁C₂|=（　　）

• A． $4\sqrt{2}$
• B． 4
• C． $8\sqrt{2}$
• D． 8

Answer 1

分析 设两个圆的圆心的坐标分别为（0，a），（0，b），利用条件可得a和b分别为x²-10$\sqrt{2}$x+34=0的两个实数根，再利用韦达定理求得两圆心的距离|C₁C₂|的值．

解答 解：设两个圆的圆心的坐标分别为（0，a），（0，b），由于两圆都过点$（\frac{{3\sqrt{2}}}{2}，\frac{{5\sqrt{2}}}{2}）$，
则有（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（a-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²，（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（b-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$b）²，
故a和b分别为（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（x-$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$x）²的两个实数根，
即a和b分别为x²-10$\sqrt{2}$x+34=0  的两个实数根，∴a+b=10$\sqrt{2}$，ab=34，
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab=64，∴两圆心的距离|C₁C₂|=8，
故选：D．

点评 本题考查直线和圆相切的性质，两点间的距离公式、韦达定理的应用，属于基础题．