Question

已知函数.（为常数,）
（Ⅰ）若是函数的一个极值点，求的值；
（Ⅱ）求证：当时，在上是增函数；
（Ⅲ）若对任意的，总存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

解：.
（Ⅰ）由已知，得 且，，，.
（Ⅱ）当时，,,
当时，.又，
，故在上是增函数.  
（Ⅲ）时，由（Ⅱ）知，在上的最大值为，
于是问题等价于：对任意的，不等式恒成立.
记，（）
则，
当时，，
在区间上递减，此时，，
由于，时不可能使恒成立，故必有,
.
若，可知在区间上递减，在此区间上，有，与恒成立矛盾，故，这时，，在上递增，恒有，满足题设要求，，即，
所以，实数的取值范围为.

略