Question

【题目】设为正项数列的前项和，且.数列满足：，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和；

（3）设，问是否存在整数，使数列为递增数列？若存在求的值，若不存在说明理由.

Answer 1

【答案】(1) ；. (2) (3)存在，

【解析】

（1）先由题意求出，再由时，，推出数列是以为公差的等差数列，求出的通项；根据，得到，推出数列是以为公比的等比数列，进而可求出数列的通项公式；

（2）先由（1）得到，根据错位相减法，即可求出结果；

（3）先由（1）得，假设存在，满足为递增数列，得到对任意恒成立，列出不等式，分别讨论为奇数，为偶数两种情况，即可求出结果.

（1）当时，解得，

当时，由，及，

相减得，即，

解得或（舍）；即数列是以为公差的等差数列，

故；

由得，所以数列是以为公比的等比数列，

又，故，所以.

（2）由（1）得.

所以，

，

相减得

从而；

（3）由（1）得，若存在，满足为递增数列，

即对任意恒成立，

由

得

当为奇数时，由得，

当为偶数时，由得，

，故.