题目内容

已知函数 $数学公式$
（1）若函数f（x）在区间 $数学公式$ 上存在极值，其中a＞0，求实数a的取值范围．
（2）设 $数学公式$ ，若g（x）在（0，1]上的最大值为 $数学公式$ ，求实数b的值．

解：（1）∵函数f（x）的定义域为{x|x＞0}， $\text{[math]}$ ，
令 $\text{[math]}$ ，解得x=1，
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）在x=1处取极大值，
因为f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上存在极值，所以 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ ，
所以实数a的取值范围是（ $\text{[math]}$ ，2）．
（2）g（x）=xf（x）+bx-1-ln（2-x）=bx+lnx-ln（2-x），
∵b＞0，当x∈（0，1]时，g′（x）=b+ $\text{[math]}$ ＞0，
所以g（x）在（0，1]上单调递增，
故g（x）在（0，1]上的最大值为g（1）=b，
因此 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）利用导数求出函数f（x）的极值点，设为x₀，则 $\text{[math]}$ ，由此可得a的范围；
（2）写出g（x）的表达式，利用导数求出g（x）在（0，1]上的最大值，使其等于 $\text{[math]}$ ，即可求得b值；
点评：本题考查应用导数研究函数的极值及求函数在闭区间上的最值问题，准确求导，熟知导数与函数极值、最值的关系是解决问题的基础．

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（本小题满分14分）已知函数

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