Question

已知函数f（x）=x²+（a+1）x+lg|a+2|，g（x）=（a+1）x，（a∈R，a≠-2）．
（1）若函数f（x）和g（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）²]上都是减函数，求实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，比较f（1）与

1

6

的大小，写出理由．

Answer 1

分析：（1）：观察可以发现f（x）为一元二次函数，要使f（x）在区间[lg|a+2|，（a+1）²]上为减函数，只需对称轴在区间的右侧即可，g（x）为一次函数，要使为减函数只需（a+1）＜0就行，然后让两者同时成立，就可以求出实数a的取值范围；
（2）先根据（1）的实数a的取值范围求出f（1）的范围，然后与

1

6

作差比较就行了．

解答：解：由题意知
（1）由g（x）=（a+1）x为减函数得：a＜-1
f(x)=(x+

a+1

2

)2+lg|a+2|-

(a+1)2

4

；
当-

a+1

2

≥(a+1)2，即-

3

2

≤a≤-1时，f（x）为减函数
∴当-

3

2

≤a＜-1时，f（x）和g（x）都是减函数
且此时，lg|a+2|＜0＜（a+1）²，
∴a的取值范围是[-

3

2

，-1)
（2）由f(1)=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-

3

2

≤a＜-1)
令h（a）=f（1）=a+2+lg|a+2|=a+2+lg(a+2)，(-

3

2

≤a＜-1)
对任意-

3

2

≤a1＜a2＜-1，
h(a1)-(a2)=[a1+2+lg(a1+2)]-[a2+2+lg(a2+2)]=(a1-a2)+lg

a1+2

a2+2

＜0
所以h（a）在区间[-

3

2

，-1)上为增函数；
故f(1)=h(a)≥h(-

3

2

)=

1

2

-lg2 
∴f(1)-

1

6

≥

1

2

-lg2-

1

6

=

1

3

-lg2＞0
∴f（1）＞

1

6

．
故：（1）a的取值范围是[-

3

2

，-1)；（2）f（1）＞

1

6

．

点评：本题主要考查一次函数和二次函数的单调性及利用作差法比较大小，属中档题．