Question

【题目】已知二次函数的图象经过点，对任意实数满足，且函数的最小值为2．

（1）求函数的解析式；

（2）设函数，其中，求函数在区间上的最小值；

（3）若在区间上，函数的图象恒在函数的图象上方，试确定实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2） （3）

【解析】试题分析：（1）由题意可得二次函数图象的对称轴和最小值，可根据顶点式设出解析式，再根据图象过点求解；（2）根据对称轴和区间的位置关系，分类讨论求出函数的最小值；（3）分离参数得对恒成立，可将问题转化为求函数， 的最小值解决。

试题解析：

（1）∵对任意实数函数满足，

∴二次函数的图象关于直线对称，

又函数的最小值为2．

∴设（）．

又点在二次函数的图象上，

∴，

解得．

∴．

（2）由（1）知， ，

则 ．

①当时，函数在区间上单调递增，

所以；

②当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以；

③当时，函数在区间上单调递减，

所以．

综上函数在区间上的最小值

（3）由题意，得对恒成立，

∴对恒成立.

设， .

则 ，

而，

所以．

所以

所以实数的取值范围是．