如图已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.以椭圆的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2.设圆T与椭圆C交于点M.N．(1)求椭圆C的方程,(2)求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

15．

如图已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以椭圆的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值，并求此时圆T的方程．

分析（1）运用椭圆的离心率公式和顶点坐标，结合a，b，c的关系，可得椭圆方程；
（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，-n），代入椭圆方程，再由向量数量积的坐标表示，转化为关于m的二次函数，配方，结合椭圆的范围，可得最小值，进而得到M的坐标，可得圆的方程．

解答解：（1）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，椭圆的左顶点T（-2，0），
可得a=2，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设M（m，n），由对称性可得N（m，-n），
即有$\frac{{m}^{2}}{4}$+n²=1，
则$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$=（m+2，n）•（m+2，-n）=（m+2）²-n²=（m+2）²-1+$\frac{{m}^{2}}{4}$=$\frac{5}{4}$m²+4m+3
=$\frac{5}{4}$（m+$\frac{8}{5}$）²-$\frac{1}{5}$，
由-2≤m≤2，可得m=-$\frac{8}{5}$时，$\overrightarrow{TM}$•$\overrightarrow{TN}$的最小值为-$\frac{1}{5}$，
此时n²=$\frac{9}{25}$，
即有r²=（m+2）²+n²=$\frac{13}{25}$，
可得圆T的方程（x+2）²+y²=$\frac{13}{25}$．

点评本题考查椭圆方程的求法，注意运用离心率公式，考查向量数量积的最小值，注意运用二次函数的最值求法和椭圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

练习册系列答案

实验教材新学案系列答案

0系列答案

智多星创新达标考试卷系列答案

文言文完全解读系列答案

初中文言文译注及赏析系列答案

初中文言文全解一本通系列答案

超级教辅全能100分系列答案

全能测控一本好卷系列答案

黄冈小状元数学详解系列答案

高分密码培优必练系列答案

相关题目

5．已知定义在R上的奇函数f（x）在[0，+∞）上递减，若f（x³-2x+a）＜f（x+1）对x∈[-1，2]恒成立，则a的取值范围为（　　）

（-3，+∞）

（-∞，-3）

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；
（Ⅱ）求点A到平面BED的距离．

3．已知M，F为椭圆的$C：\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{16}=1$的上顶点和右焦点，直线l与椭圆C交与A，B两点，且三角形△MAB的重心恰为F，则直线l的方程为6x-5y-28=0．

10．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A、B，且长轴长为8，T为椭圆上一点，直线TA、TB的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设O为原点，过点M（0，2）的动直线与椭圆C交于P、Q两点，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$的取值范围．

20．已知曲线E：$\frac{x^2}{a^2}+{y^2}$=1（a＞b，a≠1）上两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂）．
（1）若点A，B均在直线y=2x+1上，且线段AB中点的横坐标为-$\frac{1}{3}$，求a的值；
（2）记$\overrightarrow m=（\frac{x_1}{a}，{y_1}），\overrightarrow n=（\frac{x_2}{a}，{y_2}）$，若$\overrightarrow m⊥\overrightarrow n$为坐标原点，试探求△OAB的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．

7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的内切球的表面积为（　　）

$\frac{2π}{3}$

$\frac{4π}{3}$

4．设等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₂=-d，若a_k是a₆与a_k+6的等比中项，则k=（　　）

5．已知f（x）=ax²-2（a+1）x+3（a∈R）．
（1）若函数f（x）在$[{\frac{3}{2}，3}]$单调递减，求实数a的取值范围；
（2）令h（x）=$\frac{f（x）}{x-1}$，若存在${x_1}，{x_2}∈[{\frac{3}{2}，3}]$，使得|h（x₁）-h（x₂）|≥$\frac{a+1}{2}$成立，求实数a的取值范围．