Question

1．对“若（a+1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞（3a-1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，求a的取值范围”，同学甲这样求解：因为y=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$为减函数，所以a+1＜3a-1，所以a＞1，你认为这样求解过程正确吗？

Answer 1

分析 求解过程不正确．正确的解法为对a分类讨论，利用幂函数的单调性即可得出．

解答 解：求解过程不正确．
正确的解法为：①当$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{3a-1＞0}\end{array}\right.$时，即$a＞\frac{1}{3}$时，∵y=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$为减函数，（a+1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞（3a-1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，∴a+1＜3a-1，解得a＞1，可知a＞1满足条件；
②当$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{3a-1＜0}\end{array}\right.$时，即a＜-1时，∵y=x${\;}^{-\frac{1}{3}}$为减函数，（a+1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞（3a-1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，∴a+1＜3a-1，解得a＞1，可知a＞1不满足条件，舍去；
③当$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{3a-1＜0}\end{array}\right.$时，即$-1＜a＜\frac{1}{3}$时，（a+1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$＞0＞（3a-1）${\;}^{-\frac{1}{3}}$，成立，因此$-1＜a＜\frac{1}{3}$满足条件．
④当$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{3a-1＞0}\end{array}\right.$时，a∈∅；
⑤当a+1=0或3a-1=0时，即a=-1或a=$\frac{1}{3}$时舍去．
综上可得：a的取值范围是$-1＜a＜\frac{1}{3}$，或a＞1．

点评 本题考查了幂函数的单调性，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．