Question

10．已知{a_n}是正项等差数列，{a_n}的前n项和记为S_n，a₁=3，a₂•a₃=S₅．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₁=3，a₂•a₃=S₅．
∴（3+d）（3+2d）=$5×3+\frac{5×4}{2}d$，
解得d=2，或-$\frac{3}{2}$（舍去）．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
（2）S_n=$\frac{n（3+2n+1）}{2}$=n²+2n．
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}$$（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．