Question

15．设f（x）=|x+1|+|x-2|
（]）若关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤2m有实数解，求m的取值范围；
（2）若不等式|x+1|+|x-2|≥a+$\frac{2}{a}$恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用绝对值的意义求得求得f（x）的最小值为3，可得2m≥3，由此求得m的范围．
（2）根据题意可得3≥a+$\frac{2}{a}$，即（a-1）（a-2）≤0，由此求得a的范围．

解答 解：（1）f（x）=|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1、2对应点的距离之和，
它的最小值为3，再根据关于x的不等式|x+1|+|x-2|≤2m有实数解，
∴2m≥3，∴m≥$\frac{3}{2}$．
（2）若不等式|x+1|+|x-2|≥a+$\frac{2}{a}$恒成立，则3≥a+$\frac{2}{a}$，即（a-1）（a-2）≤0，
求得1≤a≤2．

点评 本题主要考查绝对值的意义，函数的能成立问题、函数的恒成立问题，属于基础题．