题目内容

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax，g(x)=3a2lnx+b，其中a>0.设两曲线y=f(x)，y=g(x)有公共点，且在该点处的切线相同.

（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；

（Ⅱ）求证：f(x) ≥g(x)  (x>0).

本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力.

解：（Ⅰ）设y=f(x)与y=g(x)(x>0)在公共点（x0,y0）处的切线相同,

.

即

即有

令于是

当

当

故为减函数,

于是h(t)在

（Ⅱ）设

则

故F(x)在（0，a）为减函数，在（a,+）为增函数，

于是函数

故当x>0时，有

练习册系列答案
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已知定义在正实数集上的函数f（x）=x2+4ax+1，g（x）=6a2lnx+2b+1，其中a＞0．
（Ⅰ）设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同，用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）+g（x），证明：若a≥
3
-1，则对任意x1，x2∈（0，+∞），x1≠x2有
h(x2)-h(x1)
x2-x1
＞8．
已知定义在正实数集上的函数f(x)=
12
x2+2ax，g（x）=3a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）（x＞0）．
已知定义在正实数集上的函数f（x）满足①若x＞1，则f（x）＜0；②f(
12
)=1；③对定义域内的任意实数x，y，都有：f（xy）=f（x）+f（y），则不等式f（x）+f（5-x）≥-2的解集为
 
．
已知定义在正实数集上的连续函数f(x)=
1
1-x
+
2
x2-1
(0＜x＜1)
x+a   (x≥1)
，则实数a的值为
 
．
（2009•河西区二模）已知定义在正实数集上的函数f（x）=
3x22
+ax，g（x）=4a2lnx+b，其中a＞0，设两曲线x=f（x）与f=g（x）有公共点，且在公共点处的切线相同．
（I）若a=1，求两曲线y=f（x）与y=g（x）在公共点处的切线方程；
（Ⅱ）用a表示b，并求b的最大值．

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