Question

【题目】设函数，其中．

（1）讨论极值点的个数；

（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）先对函数求导，再对a分类讨论求函数极值点的个数.(2)先对函数求导，假设结论不成立，则有，

由①得，由③得，所以④，令，不妨设，（），再利用导数证明，

所以④式不成立，与假设矛盾．所以原命题成立.

（1）函数的定义域为，．

令．

①当时，，，所以，函数在上单调递增，无极值；

②当时，在上单调递增，在上单调递减，

且，所以，在上有唯一零点，从而函数在上有唯一极值点；

③当时，若，即时，则在上恒成立，

从而在上恒成立，函数在上单调递增，无极值；

若，即，由于，

则在上有两个零点，从而函数在上有两个极值点．

综上所述：

当时，函数在上有唯一极值点；

当时，函数在上无极值点；

当时，函数在上有两个极值点．

（2）， .

假设结论不成立，则有

由①，得，∴，

由③，得，∴，即，即．④

令，不妨设，（），则，

∴在上增函数，，

∴④式不成立，与假设矛盾．

∴．