Question

已知数列{a_n}满足：是公差为1的等差数列，且．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：．

Answer 1

解：（1）∵是公差为1的等差数列，
∴，
∵a_n+1=+1，
∴a_n=n²；
（2）∵a_n=n²，
∴，
用数学归纳法证明．
①n=1时，=＜2，成立；
②假设n=k时，成立，即＜2，
当n=k+1时，＜2也成立．
由①②知，．
分析：（1）由于 是公差为1的等差数列，可得 ，又a_n+1=+1，化简可求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由a_n=n²，知等价于，用数学归纳法证明．
点评：本题考查数列和不等式的综合，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，注意数学归纳法的合理运用．