Question

13．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{λ}=1$的右焦点F₂（5，0）作斜率为l的直线交双曲线于M，N两点．则|MN|=192．

Answer 1

分析 由题意可得c=5，由双曲线的a，b，c的关系可得双曲线的方程，联立直线y=x-5，运用韦达定理和弦长公式，计算即可得到．

解答 解：由题意可得c=5，即有9+λ=25，
解得λ=16，
联立双曲线$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1和直线y=x-5，
可得7x²+90x-369=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{90}{7}$，x₁x₂=-$\frac{369}{7}$，
由弦长公式可得|MN|=$\sqrt{1+1}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{90}{7}）^{2}+\frac{4×369}{7}}$=192．
故答案为：192．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和双曲线的位置关系，注意运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．