Question

3．已知函数f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$（a∈R）
（1）如果函数f（x）为奇函数，求实数a的值；
（2）证明：对任意的实数a，函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）若对任意的实数x，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由函数f（x）为奇函数，得f（0）=a-1=0，求实数a的值；
（2）利用导数大于0，证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（3）函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，当x无限趋近于-∞时，f（x）无限趋近于a-2，可得a-2≥0，即可求实数a的取值范围．

解答 （1）解：由函数f（x）为奇函数，得f（0）=a-1=0，所以a=1．…（2分）
经检验，当a=1时，f（x）为奇函数，符合题意．
所以，a=1．…（4分）
（2）证明：因为f（x）=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$…（6分）
所以f′（x）=$\frac{{2}^{x+1}ln2}{（{2}^{x}+1）^{2}}$＞0．…（8分）
所以，函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．…（9分）
（3）解：因为函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，当x无限趋近于-∞时，f（x）无限趋近于a-2．
所以a-2≥0．所以a≥2．…（11分）

点评 本题考查函数的性质，考查单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．