Question

18．设a，b均为正数，且a²+b²=1，2^abc=2^a•2^b•2^c，则实数c的取值范围是$[-2\sqrt{2}，-1）$．

Answer 1

分析 2^abc=2^a•2^b•2^c=2^a+b+c，可得abc=a+b+c，c=$\frac{a+b}{ab-1}$．由于a，b均为正数，且a²+b²=1，可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．c=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ-1}$，令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\sqrt{2}]$．可得2sinθcosθ=t²-1，可得c=$\frac{2t}{{t}^{2}-3}$=f（t），t∈$（1，\sqrt{2}]$．利用导数研究其单调性即可得出．

解答 解：∵2^abc=2^a•2^b•2^c=2^a+b+c，
∴abc=a+b+c，
∴c=$\frac{a+b}{ab-1}$，
∵a，b均为正数，且a²+b²=1，
可设a=cosθ，b=sinθ，θ∈$（0，\frac{π}{2}）$．
∴c=$\frac{a+b}{ab-1}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ-1}$，
令t=sinθ+cosθ=$\sqrt{2}$$sin（θ+\frac{π}{4}）$∈$（1，\sqrt{2}]$．
则2sinθcosθ=t²-1，
∴c=$\frac{t}{\frac{{t}^{2}-1}{2}-1}$=$\frac{2t}{{t}^{2}-3}$=f（t），t∈$（1，\sqrt{2}]$．
f′（t）=$\frac{-2（{t}^{2}+3）}{（{t}^{2}-3）^{2}}$＜0，
∴函数f（t）在t∈$（1，\sqrt{2}]$上单调递减，
∴$f（\sqrt{2}）$≤f（t）＜f（1），
可得：f（t）∈$[-2\sqrt{2}，-1）$．即c∈$[-2\sqrt{2}，-1）$．
故答案为：$[-2\sqrt{2}，-1）$．

点评 本题考查了三角函数换元法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．