Question

【题目】记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，则称是“极差数列”.

（1）若，求的前项和；

（2）证明：的“极差数列”仍是；

（3）求证：若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析

【解析】

（1）由是递增数列，得，由此能求出的前项和.

（2）推导出，，由此能证明的“极差数列”仍是.

（3）证当数列是等差数列时，设其公差为，，是一个单调递增数列，从而，，由，，，分类讨论，能证明若数列是等差数列，则数列也是等差数列.

（1）解：∵无穷数列的前项中最大值为，最小值为，，，

是递增数列，∴，

∴的前项和.

（2）证明：∵，

，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴的“极差数列”仍是

（3）证明：当数列是等差数列时，设其公差为，

，

根据，的定义，得：

，，且两个不等式中至少有一个取等号，

当时，必有，∴，

∴是一个单调递增数列，∴，，

∴，

∴，∴是等差数列，

当时，则必有，∴，

∴是一个单调递减数列，∴，，

∴，

∴.∴是等差数列，

当时，，

∵，中必有一个为0，

根据上式，一个为0，为一个必为0，

∴，，

∴数列是常数数列，则数列是等差数列.

综上，若数列是等差数列，则数列也是等差数列.