Question

【题目】在如图所示的多面体中，平面，四边形为平行四边形，点分别为的中点，且，，.

（1）求证：平面；

（2）若，求该多面体的体积.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）取取的中点为，连，可证，且，所以四边形是平行四边形，从而可得，利用线面平行的判定，可得平面；

（2）连接，由四边形为平行四边形可知与面积相等，所以三棱锥与三棱锥体积相等，即该多面体的体积为三棱锥体积的二倍，由此根据题意，结合余弦定理，即可求出结果.

（1）证明：取的中点为，连，

∵分别为的中点，

，且，

又四边形为平行四边形，，且，

，且

∴四边形是平行四边形

即

又平面，平面，

平面；

（2）连接，

由四边形为平行四边形可知与面积相等，

所以三棱锥与三棱锥体积相等，

即该多面体的体积为三棱锥体积的二倍．

平面，平面，

，

由，可得，

又，

由余弦定理并整理得 ，

解得，

∴三棱锥的体积

∴该几何体的体积为.