Question

【题目】已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数在区间内有且只有一个极值点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）根据题意，讨论的范围，令求出增区间，令求出减区间。

（2）由题意可知，在上有解，讨论的范围，判断的单调性和零点个数，得出结论。

（1）函数的定义域为．，

①当即时，

因为时，，

所以的单调增区间为．

②当，即时，令，得．

当时，；当时，；

所以的单调增区间为，减区间为．

综上，当时，的单调增区间为；

当时，的单调增区间为，

减区间为．

（2）因为，

所以．

令，．

若函数在区间内有且只有一个极值点，

则函数在区间内存在零点．

又，所以在内有唯一零点．

且时，；时，．

则在内为减函数，在内为增函数．

又因为且在内存在零点，

所以解得．

显然在内有唯一零点，记为．

当时，，时，，所以在点两侧异号，即在点两侧异号，为函数在区间内唯一极值点．

当时，，又，在内成立，

所以在内单调递增，故无极值点．

当时，，，易得时，，故无极值点．

所以当且仅当时，函数在区间内有且只有一个极值点．