Question

【题目】已知椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为.

（1）已知点是椭圆上两点，点为椭圆的上顶点，的重心恰好是椭圆的右焦点，求所

在直线的斜率；

（2）过椭圆的右焦点作直线，直线与椭圆分别交于点，直线与椭圆分别交于点，

且，求四边形的面积最小时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或

【解析】

试题分析：（1）由椭圆的离心率为，过焦点且垂直于长轴的弦长为，列出方程组求出，，由此能求出椭圆方程为，由重心公式得，，由此结合点差法能求出直线的斜率；（2）设，，，，由题意推导出，若直线中有一条斜率不存在，求出四边形的面积为；若直线，的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，得，由此利用韦达定理、弦长公式求出，同理可求得，由此能求出四边形的面积的最小值及此时直线的方程．

试题解析：（1）由题意：，，解得，

所求椭圆的方程为.

设，∵，∴，根据题意，，

即，.

由 ①， ②

①②得，

∴.

（2）设，，，，

则由题意：，

即

整理得：，

即，所以.

①若直线中有一条斜率不存在，不妨设的斜率不存在，则轴，

所以，，

故四边形的面积.

②若直线的斜率存在，设直线的方程为：，

则由，得，

则，，

，

同理可求得，，故四边形的面积：

（当取“”），

此时，四边形面积的最小值为，

所以直线方程为：或.