Question

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（1）当p=q=

1

2

时，求数学期望E（ξ）及方差V（ξ）；
（2）当p+q=1时，将ξ的数学期望E（ξ）用p表示．

Answer 1

分析：（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项分布的期望和方差公式进行求解即可；
（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．因为三个人投球得到最多投入3个，最少0个，得到变量的可能取值，根据相互独立事件和互斥事件的公式得到概率，从而得到分布列，最后根据数学期望公式解之即可．

解答：解：（1）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=

1

2

时，每次试验事件发生的概率相等，
∴ξ～B（3，

1

2

），由二项分布的期望和方差公式得到结果
∴Eξ=np=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=np（1-p）=3×

1

2

×(1-

1

2

)=

3

4

（2）ξ的可取值为0，1，2，3．
P（ξ=0）=（1-q）（1-p）²=pq²；
P（ξ=1）=q（1-p）²+（1-q）C₂¹p（1-p）=q³+2p²q；
P（ξ=2）=qC₂¹p（1-p）+（1-q）p²=2pq²+p³；
P（ξ=3）=qp²．
ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3
P	pq2	q3+2p2q	2pq2+p3	qp2

Eξ=0×pq²+1×（q³+2p²q）+2×（2pq²+p³）+3×qp²=1+p．

点评：本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量的期望与方差和二项分布，属于中档题．