Question

设有3个投球手，其中一人命中率为q，剩下的两人水平相当且命中率均为p（p，q∈（0，1）），每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
（Ⅰ）当p=q=

1

2

时，求E（ξ）及D（ξ）；
（Ⅱ）当p=

1

3

，q=

2

3

时，求ξ的分布列和E（ξ）．

Answer 1

分析：（1）每位投球手均独立投球一次，每次试验事件发生的概率相等，判断符合二项分布，由二项分布的期望和方差公式得到结果
（2）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．因为三个人投球得到最多投入3个，最少0个，得到变量的可能取值，看出对应的事件，根据相互独立事件和互斥事件的规律公式得到概率．

解答：解：（Ⅰ）∵每位投球手均独立投球一次，
当p=q=

1

2

时，每次试验事件发生的概率相等，
∴ξ～B（3，

1

2

），由二项分布的期望和方差公式得到结果
∴Eξ=np=3×

1

2

=

3

2

，Dξ=np（1-p）=3×

1

2

×(1-

1

2

)=

3

4

（Ⅱ）由题意知每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为ξ．
则ξ的可取值为0，1，2，3，
ξ=0表示三个人都没有射中，
根据相互独立事件和互斥事件的规律公式得到概率
P(ξ=0)=(1-

2

3

)(1-

1

3

)2=

4

27

P(ξ=1)=

2

3

(1-

2

3

)2+(1-

2

3

)

C

1 2

2

3

(1-

2

3

)=(

2

3

)3+2(

1

3

)2(

2

3

)=

12

27

；P(ξ=2)=

2

3

•

2

3

•

C

1 2

1

3

(1-

1

3

)+(1-

2

3

)(

1

3

)2=

9

27

；
P(ξ=3)=

2

3

•(

1

3

)2=

2

27

∴ξ的分布列为

∴Eξ=0•

4

27

+1×

12

27

+2×

9

27

+3×

2

27

=

4

3

点评：解决离散型随机变量分布列问题时，主要依据概率的有关概念和运算，同时还要注意题目中离散型随机变量服从什么分布，若服从特殊的分布则运算要简单的多．