Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB中点的横坐标即可求出直线AB的方程．
（2）假设存在点M，使为常数．分别分当直线AB与x轴不垂直时以及当直线AB与x轴垂直时求出点M的坐标．最后综合两种情况得出结论．
解答：解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由线段AB中点的横坐标是，得，
解得，适合（1）．
所以直线AB的方程为，或．

（Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M（m，0），使为常数．
①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以
=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
将（3）代入，整理得
=
注意到是与k无关的常数，从而有，此时
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，
当时，亦有
综上，在x轴上存在定点，使为常数．
点评：本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法．通过运用设而不求韦达定理方法，以及向量垂直关系的利用求解．考查对知识的综合运用，属于中档题．