Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是，求直线AB的方程；
（Ⅱ）设点M的坐标为，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将直线的点斜式方程（其中斜率为参数）代入椭圆方程，并设出交点A，B的坐标，消去Y后，可得一个关于X的一元二次方程，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数关系）易得A、B两点中点的坐标表达式，再由AB中点的横坐标是，构造方程，即可求出直线的斜率，进而得到直线的方程．
（2）由M点的坐标，我们易给出两个向量的坐标，然后代入平面向量数量集公式，结合韦达定理（一元二次方程根与系数关系），不难不求出的值．
解答：解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由线段AB中点的横坐标是，得，
解得，适合（1）．
所以直线AB的方程为，或．
（Ⅱ）①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知
所以=
将（3）代入，整理得=
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为，
此时亦有
综上，
点评：与直线和圆锥曲线的位置关系有关的参数范围问题，常采用解方程组的思想方法，转化为判别式进行；与向量数量积有关的问题，常常利用韦达定理，以整体代入的方法求解，这样可以避免求交点，使运算过程得到简化．