Question

已知定点C（-1，0）及椭圆x²+3y²=5，过点C的动直线与椭圆相交于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标是-

1

2

，求直线AB的方程；
（Ⅱ）在x轴上是否存在点M，使

MA

•

MB

为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意，设出直线AB的方程，将直线方程代入椭圆，用设而不求韦达定理方法表示出中点坐标，此时代入已知AB中点的横坐标即可求出直线AB的方程．
（2）假设存在点M，使

MA

•

MB

为常数．分别分当直线AB与x轴不垂直时以及当直线AB与x轴垂直时求出点M的坐标．最后综合两种情况得出结论．

解答：解：（Ⅰ）依题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x+1），
将y=k（x+1）代入x²+3y²=5，消去y整理得（3k²+1）x²+6k²x+3k²-5=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则

△=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)＞0，(1) x1+x2=- 6k2 3k2+1 ．(2)

由线段AB中点的横坐标是-

1

2

，得

x1+x2

2

=-

3k2

3k2+1

=-

1

2

，
解得k=±

3

3

，适合（1）．
所以直线AB的方程为x-

3

y+1=0，或x+

3

y+1=0．

（Ⅱ）解：假设在x轴上存在点M（m，0），使

MA

•

MB

为常数．
①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知x1+x2=-

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-5

3k2+1

．(3)
所以

MA

•

MB

=(x1-m)(x2-m)+y1y2=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1)
=（k²+1）x₁x₂+（k²-m）（x₁+x₂）+k²+m²
将（3）代入，整理得

MA

•

MB

=

(6m-1)k2-5

3k2+1

+m2=

(2m- 1 3 )(3k2+1)-2m- 14 3

3k2+1

+m2
=m2+2m-

1

3

-

6m+14

3(3k2+1)

.
注意到

MA

•

MB

是与k无关的常数，从而有6m+14=0，m=-

7

3

，此时

MA

•

MB

=

4

9

.
②当直线AB与x轴垂直时，此时点A，B的坐标分别为(-1，

2

3

)、(-1，-

2

3

)，
当m=-

7

3

时，亦有

MA

•

MB

=

4

9

.
综上，在x轴上存在定点M(-

7

3

，0)，使

MA

•

MB

为常数．

点评：本题考查直线的一般方程以及直线与圆锥曲线的关系求法．通过运用设而不求韦达定理方法，以及向量垂直关系的利用求解．考查对知识的综合运用，属于中档题．