Question

已知函数f（x）满足f（x）=x3+f′(

2

3

)x2-x+c（其中f′(

2

3

)为f（x）在点x=

2

3

处的导数，c为常数）．若函数f（x）的极小值小于0，则c的取值范围是______．

Answer 1

由f（x）=x³+f′（

2

3

）x²-x+C，
得f′（x）=3x²+2f′（

2

3

）x-1．
取x=

2

3

，得f′（

2

3

）=3×（

2

3

）²+2f′（

2

3

）×（

2

3

）-1，
解之，得f′（

2

3

）=-1，
∴f（x）=x³-x²-x+C．
从而f′（x）=3x2-2x-1=3（x+

1

3

）（x-1），列表如下：

x	（-∞，- 1 3 ）	- 1 3	（- 1 3 ，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	有极大值	↘	有极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是（-∞，-

1

3

）和（1，+∞）；f（x）的单调递减区间是（-

1

3

，1）．
∴函数f（x）的极小值为f（1）=-1+C，由题意得-1+C＜0，
∴C＜1．
则c的取值范围是 （-∞，1）．
故答案为：（-∞，1）．