Question

若数列{a_n}的通项公式为a_n=（1+

1

n

）ⁿ，
试证：（1）数列{a_n}为递增数列；
（2）2≤a_n≤3．

Answer 1

分析：（1）由题设条件知a_n=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²+…+C_nⁿ（

1

n

）ⁿ，a_n+1=（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹
=1+C_n+1¹

1

n+1

+C_n+1²（

1

n+1

）²+…+C_n+1ⁿ（

1

n+1

）ⁿ⁺¹．由此可知a_n＜a_n+1，即{a_n}为递增数列．
（2）由题意知a_n=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²++C_nⁿ（

1

n

）ⁿ≥1+C_n¹

1

n

=2，由此可知a_n=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²++C_nⁿ（

1

n

）ⁿ≤2+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3．

解答：证明：（1）a_n=（1+

1

n

）ⁿ=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²+…+C_nⁿ（

1

n

）ⁿ，a_n+1=（1+

1

n+1

）ⁿ⁺¹
=1+C_n+1¹

1

n+1

+C_n+1²（

1

n+1

）²+…+C_n+1ⁿ（

1

n+1

）ⁿ⁺¹．
可观察C_n+1^k（

1

n+1

）^k与C_n^k（

1

n

）^k，当k=0，1时，
C_n+1^k（

1

n+1

）^k=C_n^k（

1

n

）^k；当k=2，3，4，，n时，
C_n+1^k（

1

n+1

）^k＞C_n^k（

1

n

）^k．∴a_n＜a_n+1，即{a_n}为递增数列．
（2）∵a_n=（1+

1

n

）ⁿ
=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²++C_nⁿ（

1

n

）ⁿ≥1+C_n¹

1

n

=2，
又a_n=（1+

1

n

）ⁿ=1+C_n¹

1

n

+C_n²（

1

n

）²++C_nⁿ（

1

n

）ⁿ≤2+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=3-

1

n

＜3．

点评：解：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．