Question

已知f(x)=

1

4x+2

(x∈R)，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是函数y=f（x）图象上两点，且线段P₁P₂中点P的横坐标是

1

2

．
（1）求证点P的纵坐标是定值； 
（2）若数列{a_n}的通项公式是an=f(

n

m

)（m∈N^*），n=1，2…m），求数列{a_n}的前m项和S_m； 
（3）在（2）的条件下，若m∈N^*时，不等式

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由

x1+x2

2

=

1

2

知，x₁+x₂=1，故y₁+y₂=

1

4x1+2

+

1

41-x1+2

，由此能够证明点P的纵坐标是定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m=f(

1

m

)+f(

2

m

)+…+f(

m-1

m

)+f(1)，利用倒序相加法能够求出数列{a_n}的前m项和S_m．
（3）由

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

，得12a^m（

1

3m-1

-

a

3m+2

）＜0对m∈N⁺恒成立．由此利用分类讨论思想能够求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）由

x1+x2

2

=

1

2

知，x₁+x₂=1，则
y₁+y₂=

1

4x1+2

+

1

4x2+2

=

1

4x1+2

+

1

41-x1+2

=

1

4x1+2

+

4x1

2(4x1+2)

=

1

2

，
故点P的纵坐标是

1

4

，为定值．
（2）已知S_m=a₁+a₂+…+a_m
=f(

1

m

)+f(

2

m

)+…+f(

m-1

m

)+f(1)，
又S_m=a_m-1+a_m-2+…+a₁+a_m
=f（

m-1

m

）+f（

m-2

m

）+…+f（

1

m

）+f（1）
二式相加，得
2Sm=[f(

1

m

)+f(

m-1

m

)]+[f(

2

m

)+f(

m-2

m

)]+…+[f(

m-1

m

)+f(

1

m

)]+2f(1)，
因为

k

m

+

m-k

m

=1，(k=1，2，…m-1），故f(

k

m

)+f(

m-k

m

)=

1

2

，
又f（1）=

1

4+2

=

1

6

，从而Sm=

1

12

(3m-1)．（12分）
（3）由

am

Sm

＜

am+1

Sm+1

，
得12a^m（

1

3m-1

-

a

3m+2

）＜0…①对m∈N⁺恒成立．
显然，a≠0，
（ⅰ）当a＜0时，由

1

3m-1

-

a

3m+2

＞0，得a^m＜0．
而当m为偶数时a^m＜0不成立，所以a＜0不合题意；
（ⅱ）当a＞0时，因为a^m＞0，
则由式①得，a＞

3m+2

3m-1

=1+

3

3m-1

．
又

3

3m-1

随m的增大而减小，
所以，当m=1时，1+

3

3m-1

有最大值

5

2

，故a＞

5

2

．（18分）

点评：本题考查点的纵坐标是定值的证明，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意倒序相加法、分类讨论思想的灵活运用．