Question

已知函数f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若0＜m＜n，且x∈[m，n]时，f（x）的值域为．试求m，n的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）将函数f（x）=-2x²+bx+c进行配方，然后根据f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，列等式进行求解；
（2）由题意0＜m＜n，可得f（x）在[m，n]上单调减，得m，n是方程的两个解，从而求出m和n．
解答：解：（1）∵f（x）=-2x²+bx+c在x=1时有最大值1，
又∵f（x）=-2x²+bx+c=-2（x-）²++c
∴=1，+c=1，
∴b=4，c=-1，
∴f（x）=-2（x-1）²+1，（4分）
（2）∴f（x）≤1，
∴，即m≥1，
∴f（x）在[m，n]上单调减，（6分）
∴且．（8分）
∴m，n是方程的两个解，方程即（x-1）（2x²-2x-1）=0，（10分）
解方程，得解为1，，．
∴1≤m＜n，
∴m=1，．（14分）
点评：此题是道综合题，考查了函数的最值问题及函数增减性，难度比较大．