Question

已知函数f（x）=aInx-ax，（a∈R）
（1）求f（x）的单调递增区间；（文科可参考公式：(Inx)′=

1

x

）
（2）若f′（2）=1，记函数g（x）=x³+x²•[f′(x)+

m

2

]，若g（x）在区间（1，3）上总不单调，求实数m的范围．

Answer 1

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系，判断函数的递增区间，
（2）根据根的分布与函数导数的关系确定m的范围．

解答：解：（1）依题意得：f′（x）=

-a(x-1)

x

，
当a＞0，单调递增区间（0，1），
当a＜0，单调递增区间（1，+∞），
当a=0，无增区间．
（2）由f′（2）=1，得a=-2，
∴g(x)=x3+(2+

m

2

)x2-2x，
所以g′（x）=3x²+（m+4）x-2=0有两个正负根，
依题意必有正根在区间（1，3）上，
∴由根的分布可得g′（1）＜0且g′（3）＞0
∴-

37

3

＜m＜-5．

点评：掌握函数的导数判断函数的增减区间的方法，及根的分布的判定．