Question

19．△ABC两个顶点A、B的坐标分别是（-1，0）、（1，0），边AC、BC所在直线的斜率之积是-4．
（1）求顶点C的轨迹方程；
（2）求直线2x-y+1=0被此曲线截得的弦长．

Answer 1

分析 （1）利用边AC、BC所在直线的斜率之积是-4，建立方程，即可求顶点C的轨迹方程；
（2）利用弦长公式求直线2x-y+1=0被此曲线截得的弦长．

解答 解：（1）设C（x，y），由${k_{AC}}=\frac{y}{x+1}，{k_{BC}}=\frac{y}{x-1}，（x≠±1）$…（4分）
由${k_{AC}}•{k_{BC}}=\frac{y}{x+1}•\frac{y}{x-1}=-4$…（6分）
化简可得4x²+y²=4…（8分）
所以顶点C的轨迹方程为4x²+y²=4（x≠±1）…（9分）
（2）设直线2x-y+1=0与曲线4x²+y²=4（x≠±1）相交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}4{x^2}+{y^2}=4\\ 2x-y+1=0\end{array}\right.$化为8x²+4x-3=0则${x_1}+{x_2}=-\frac{1}{2}，{x_1}{x_2}=-\frac{3}{8}$，…（14分）
弦长$d=\sqrt{{{（{x_1}-{x_2}）}^2}+{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}$=$\sqrt{（1+{2^2}）[{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}$=$\sqrt{5[{{（-\frac{1}{2}）}^2}-4×（-\frac{3}{8}）]}=\frac{{\sqrt{35}}}{2}$
所以直线2x-y+1=0被曲线4x²+y²=4（x≠±1）截得的弦长为$\frac{{\sqrt{35}}}{2}$．…（17分）

点评 本题考查直接法求轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，属于中档题．