Question

已知椭圆的左右焦点分别是，离心率，为椭圆上任一点，且的最大面积为.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设斜率为的直线交椭圆于两点，且以为直径的圆恒过原点，若实数满足条件，求的最大值.

Answer 1

【解】（Ⅰ）依题意得：，解得：

于是：椭圆的方程

（Ⅱ）设直线的方程由得：

设，则

由于以为直径的圆恒过原点，于是，即

又

于是：，即

依题意有：，即

化简得：

因此，要求的最大值，只需求的最大值，下面开始求的最大值：

点到直线的距离，于是：

又因为，所以，

代入得

令

于是：

当即，即时，取最大值，且最大值为

于是：的最大值为