Question

函数y+1=

x

x-1

与y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点横坐标之和是

 

．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：

分析：函数y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，作出两个函数的图象，这两个函数的图象的公共的对称中心是点（1，0），故交点个数为偶数，且对称点的横坐标之和为2，由此可得结论．

解答： 解：函数y+1=

x

x-1

，即 y=

1

x-1

，根据y₁=

1

x-1

的图象与y₂=2sinπx（-2≤x≤4）的图象关于点（1，0）对称，
作出两个函数的图象，
当1＜x≤4时，y₁≥

1

3

，
而函数y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（2，

5

2

）上是单调增且为正数函数，
y₂在（1，4）上出现1.5个周期的图象，在（

5

2

，3）上是单调减且为正数，
∴函数y₂在x=

5

2

处取最大值为2≥

2

3

，
而函数y₂在（1，2）、（3，4）上为负数与y₁的图象没有交点，
所以两个函数图象在（1，4）上有两个交点（图中C、D），
根据它们有公共的对称中心（1，0），可得在区间（-2，1）上也有两个交点（图中A、B），
并且：x_A+x_D=x_B+x_C=2，故所求的横坐标之和为4，
故答案为：4．

点评：本题考查函数的零点与方程的根的关系，函数的图象特征，考查数形结合思想，属于中档题．