Question

7．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁D₁，A₁A的中点．
（1）求证：BC₁∥平面CEF；
（2）在棱A₁B₁上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A₁G的长度；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）连结AD₁，则FE∥BC₁，由此能证明BC₁∥平面CEF．
（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出在棱A₁B₁上存在点G，使得EG⊥CE，且A₁G=$\frac{1}{4}$．

解答 证明：（1）连结AD₁，则BC₁∥AD₁，AD₁∥FE，
∴FE∥BC₁，
∵FE?面CEF，BC₁?面CFE，
∴BC₁∥平面CEF．
解：（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
假设棱A₁B₁上是存在点G，使得EG⊥CE，设A₁G=λ（0≤λ≤1），
则G（1，λ，1），E（$\frac{1}{2}$，0，1），C（0，1，0），
$\overrightarrow{EG}$=（$\frac{1}{2}，λ，0$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{1}{2}，-1，1$），
∵EG⊥CE，∴$\overrightarrow{EG}•\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}-λ=0$，
解得λ=$\frac{1}{4}$．
∴在棱A₁B₁上存在点G，使得EG⊥CE，且A₁G=$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查使得两线段垂直的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．