设函数f(x)=|x-2|-|2x+5|．≤0,-3|x-2|≤m.对一切实数x均成立.求实数m的取值范围．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．设函数f（x）=|x-2|-|2x+5|．
（1）解不等式f（x）≤0；
（2）若f（x）-3|x-2|≤m，对一切实数x均成立，求实数m的取值范围．

分析（1）化简函数f（x）的解析式，求出f（x）=0的x值，结合f（x）的图象可得不等式f（x）≤0的解集．
（2）由题意可得|x-2|+|x-$\frac{5}{2}$|≥-$\frac{m}{2}$恒成立，利用绝对值三角不等式求得|x-2|+|x-$\frac{5}{2}$|的最小值，可得实数m的取值范围．

解答解：函数f（x）=|x-2|-|2x+5|=$\left\{\begin{array}{l}{x+7，x＜-\frac{5}{2}}\\{-3x-3，-\frac{5}{2}≤x≤2}\\{-x-7，x＞2}\end{array}\right.$，
（1）令f（x）=|x-2|-|2x+5|=0，求得x=-7 或x=-1，结合f（x）的图象，
故不等式f（x）≤0的解集为{x|-7≤x≤-1}．
（2）若f（x）-3|x-2|≤m，对一切实数x均成立，
即：-2|x-2|-|2x+5|≤m恒成立；
即|x-2|+|x+$\frac{5}{2}$|≥-$\frac{m}{2}$恒成立；
y=|x-2|+|x+$\frac{5}{2}$|的图象为：

∴-$\frac{m}{2}$≤$\frac{9}{2}$；
所以m≥-9；
即m的取值范围为m≥-9．

点评本题主要考查分段函数的应用，绝对值三角不等式的应用，绝对值不等式的解法，绝对值的意义，属于中档题．

练习册系列答案

13．已知角x≠$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），函数F（x）=$\frac{|sinx|}{cos（\frac{3π}{2}+x）}$-$\frac{sin（\frac{3π}{2}-x）}{|cosx|}$+$\frac{|tanx|}{tanx}$，则F（x）可能取值的个数是（　　）

10．

已知圆O：x²+y²=4和圆C：x²+y²-2x-y-2=0，记两圆的公共弦所在的直线为l．
（I）求直线l的方程．
（Ⅱ）设直线l与x轴的交点为M，过点M任作一条直线与圆O相交于点A，B，是否存在x轴上的定点N，连接AN，BN，使得∠ANM=∠BNM，若存在，求出点N的坐标，若不存在，说明理由．

17．△ABC的面积为S，α是三角形的内角，O是平面ABC内一点，且满足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OA}$+sinα$\overrightarrow{OB}$+cosα$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，则下列判断正确的是（　　）

	A．	S_△AOC的最小值为$\frac{1}{2}$S		B．	S_AOB的最小值为（$\sqrt{2}$-1）S
	C．	S_△AOC+S_△AOB的最大值为$\frac{1}{2}$S		D．	S_△BOC的最大值为（$\sqrt{2}$-1）S

7．

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是A₁D₁，A₁A的中点．
（1）求证：BC₁∥平面CEF；
（2）在棱A₁B₁上是否存在点G，使得EG⊥CE？若存在，求A₁G的长度；若不存在，说明理由．

14．

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长均为1，侧棱AA₁=2，M，N分别是A₁C₁，A₁A的中点，
（1）求$\overrightarrow{CN}$的长；
（2）求cos＜$\overrightarrow{C{A}_{1}}$，$\overrightarrow{D{C}_{1}}$＞的值；
（3）求证：A₁C⊥D₁M．

11．y=2sin$\frac{x}{2}$+$\frac{π}{3}$的值域为[-2+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$]，当y取最大值时，x=x=π+4kπ，k∈Z；当y取最小值时，x=x=-π+4kπ，k∈Z，周期为4π，单调递增区间为[-π+4kπ，π+4kπ]，k∈Z；单调递减区间为[π+4kπ，3π+4kπ]，k∈Z．

12．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）右顶为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP⊥PA，求椭圆的离心率e的取值范围．

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