Question

【题目】已知抛物线的焦点为，若△的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”.

（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由；

（2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程；

（3）已知△是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2.

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由见解析.（2）.（3）证明见解析

【解析】

（1）利用求得第三个点的坐标，由此判断出这样的“核心三角形”不存在.

（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，写出韦达定理，根据求得点的坐标并代入抛物线方程，由此求得的值，进而求得直线的方程.

（3）设出直线的方程并与抛物线方程联立，写出判别式和韦达定理，利用求得点的坐标并代入抛物线方程，

（1）由于，即，即

，所以

第三个顶点的坐标为，

但点不在抛物线上，

∴这样的“核心三角形”不存在.

（2）设直线的方程为，与联立并化简得：

设，，，

，，

由（1）得，即，所以

由得：，，

代入方程，解得：，∴直线的方程为.

（3）设直线的方程为，与联立并化简得：，

∵直线与抛物线相交，∴判别式， 即.

，∴，

由，得，即

点的坐标为，

又∵点在抛物线上，∴，得，

∵，即，∴，

∴点的横坐标.