Question

【题目】已知函数

讨论函数的单调性；

设，对任意的恒成立，求整数的最大值；

求证：当时，

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；

（2）若a≤0，则f（1）＝﹣a+1＞0，不满足f（x）≤0恒成立．若a＞0，由（Ⅰ）可知，函数f（x）在（0，）上单调递增；在（）上单调递减．由此求出函数的最大值，由最大值小于等于0可得实数a的取值范围．

（3）由（2）可知，当a＝1时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣x+1≤0．得到﹣xlnx≥﹣x2+x，则ex﹣xlnx+x﹣1≥ex﹣x2+2x﹣1．然后利用导数证明ex﹣x2+2x﹣1＞0（x＞0），即可说明ex﹣xlnx+x＞0．

（1）∵函数 f（x）＝（a∈R ）．

∴，x＞0，

当a＝0时，f′（x）0，f（x）在（0，+∞）单调递增．

当a＞0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增．

当a＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x，

令f′（x）＜0，解得：x，

故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．

（2）当时，则f（1）＝2a+3＞0，不满足f（x）≤0恒成立．

若a<0，由（1）可知，函数f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减．

∴，又f（x）≤0恒成立，

∴f（x）max≤0，即0，令g(a)=,则g(a)单调递增，g(-1)=1，

g(-2)=<0，∴a时，g(a) <0恒成立，此时f（x）≤0恒成立，

∴整数的最大值-2．

（3）由（2）可知，当a＝-2时，f（x）≤0恒成立，即lnx﹣2x2+1≤0．即xlnx﹣2x3+x≤0，恒成立，①

又ex﹣x2+2x﹣1+（）

∴只需证ex﹣x2+2x﹣1，

记g（x）＝ex﹣x2+2x﹣1（x＞0），则g′（x）＝ex﹣2x+2，

记h（x）＝ex﹣2x+2，则h′（x）＝ex﹣2，由h′（x）＝0，得x＝ln2．

当x∈（0，ln2）时，h′（x）＜0；当x∈（ln2，+∞）时，h′（x）＞0．

∴函数h（x）在（0，ln2）上单调递减；在（ln2，+∞）上单调递增．

∴4﹣2ln2＞0．

∴h（x）＞0，即g′（x）＞0，故函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．

∴g（x）＞g（0）＝e0﹣1＝0，即ex﹣x2+2x﹣1＞0．

结合①∴ex﹣x2+2x﹣1+（）＞0，即＞0成立．