Question

【题目】如图，已知平面平面，直线平面，且.

（1）求证：平面；

（2）若，平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）过点作于点，推导出平面，利用线面垂直的性质定理可得出，再由线面平行的判定定理可证得平面；

（2）推导出四边形为矩形，然后以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得二面角的余弦值.

（1）证明：过点作于点，

因为平面平面，又平面平面，平面，

所以平面，

又因为平面，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）因为平面，所以，

由可知，，，则，

所以点是的中点，连接，则，

所以平面，则，，所以四边形是矩形.

以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则、、、.

设平面的一个法向量为，

又，.

由，得，取，得.

设平面的一个法向量为，

因为，.

由，得，取，得；

设二面角的平面角为，则，

由题知二面角是钝角，则二面角的余弦值为.