Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差为d的等差数列，数列{b_n}是首项为1，公比为q(q＞1)的等比数列．

(1) 若a₅＝b₅，q＝3，求数列{a_n·b_n}的前n项和；

(2) 若存在正整数k(k≥2)，使得a_k＝b_k.试比较a_n与b_n的大小，并说明理由．

Answer 1

 解： (1) 依题意，a₅＝b₅＝b₁q^5－1＝1×3⁴＝81，

故d＝＝20，

所以a_n＝1＋20(n－1)＝20n－19.(3分)

令S_n＝1×1＋21×3＋41×3²＋…＋(20n－19)·3^n－1，①

则3S_n＝1×3＋21×3²＋…＋(20n－39)·3^n－1＋(20n－19)·3ⁿ，　②

①－②，得－2S_n＝1＋20×(3＋3²＋…＋3^n－1)－(20n－19)·3ⁿ＝1＋20×－(20n－19)·3ⁿ

＝(29－20n)·3ⁿ－29，

所以S_n＝

(2) 因为a_k＝b_k，

所以1＋(k－1)d＝q^k－1，即d＝，

故a_n＝1＋(n－1) .

又b_n＝q^n－1，(9分)

所以b_n－a_n＝q^n－1－

＝ [(k－1)(q^n－1－1)－(n－1)(q^k－1－1)]

＝ [(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]．(11分)

(ⅰ) 当1＜n＜k时，由q＞1知

b_n－a_n＝ [(k－n)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q＋1)－(n－1)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q^n－1)]

＜ [(k－n)(n－1)q^n－2－(n－1)(k－n)q^n－1]

＝－

＜0；(13分)

(ⅱ)当n＞k时，由q＞1知

b_n－a_n＝ [(k－1)(q^n－2＋q^n－3＋…＋q^k－1)－(n－k)(q^k－2＋q^k－3＋…＋q＋1)]

＞ [(k－1)(n－k)q^k－1－(n－k)(k－1)q^k－2]

＝(q－1)²q^k－2(n－k)

＞0，(15分)

综上所述，当1＜n＜k时，a_n＜b_n；当n＞k时，a_n＞b_n；当n＝1，k时，a_n＝b_n.(16分)