Question

有下列命题：
①函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于y轴对称；
②若函数f（x）=e^x，则?x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）≤

f(x1)+f(x2)

2

；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则f（-2）＞f（a+1）；
④若函数f（x+2014）=x²-2x-1（x∈R），则函数f（x）的最小值为-2．
其中真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①令x-2=t，则x=2+t，y=f（t）和y=f（-t）的图象关于t=0对称，即可判断①；
②运用指数的运算法则，以及基本不等式，即可判断②；
③由条件先判断a＞1，a+1＞2，由偶函数得到f（-2）=f（2），再由单调性即可得到答案；
④可求出f（x），配方，运用二次函数的最值，即可判断．

解答： 解：①令x-2=t，则x=2+t，y=f（t）和y=f（-t）的图象关于t=0对称，
即函数y=f（-x+2）与y=f（x-2）的图象关于x=2对称，故①错；
②若函数f（x）=e^x，则?x₁，x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）=e

x1+x2

2

=e

x1

2

•e

x2

2

≤

ex1+ex2

2

=

f(x1)+f(x2)

2

，故②正确；
③若函数f（x）=log_a|x|（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上单调递增，则a＞1，a+1＞2，
由于f（x）是偶函数，则f（-2）=f（2），故f（a+1）＞f（2），故③错；
④若函数f（x+2014）=x²-2x-1（x∈R），则函数f（x）=（x-2014）²-2（x-2014）-1
=（x-2015）²-2，当x=2015时，f（x）取最小值为-2，故④正确．
故答案为：②④

点评：本题以命题的真假为载体，考查函数的对称性、单调性、奇偶性和最值等，是一道中档题．